Задача 78615

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Покрытия ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Решение

Ответ: на высоте , где a — сторона квадрата. Рассмотрим следующие 5 точек: вершины квадрата и его центр. Если диаметр круга меньше , то он может содержать не более одной из этих точек. Поэтому 4 круга радиуса меньше не могут целиком покрыть квадрат со стороной a. Легко видеть, что 4 круга, диаметрами которых служат отрезки, соединяющие центр квадрата с его вершинами, полностью покрывают квадрат.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2