Задача 78676

Темы:    [ Композиции поворотов ] [ Процессы и операции ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол . Дано, что < < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Решение

Достаточно доказать, что каждая точка не более чем за N=4[360/β] операций возвращается на свое начальное место. Тогда после N! операций все точки вернутся на свои места. Пусть AOB – сектор величины α , OL – биссектриса угла AOB . Пусть x – некоторая точка, которая после одной операции преходит в точку y . Рассмотрим несколько случаев расположения точек x и y относительно сектора AOB . 1) x лежит вне AOB . Рассмотрим наименьшее k такое, что после k операций точка x попадает внутрь сектора. Поскольку β<α , то k<[360/β] . Тогда легко видеть, что после 2k операций наша точка попадает в точку, симметричную первоначальной относительно OL . Пусть теперь l – наименьшее число операций, после которых точка снова попадает внутрь сектора (считая с того момента, как она оказалась в точке, симметричной точке x ). Тогда после 2k+2l< 4[360/beta] операций точка вернется в начальное положение. 2) x и y лежат внутри AOB . Тогда точка y переходит в точку x , то есть точка x возвращается в начальное положение за 2 операции. 3) x лежит внутри AOB , а y вне AOB . По доказанному (смотри случай 1) через 2k+2l< 4[360/beta] операций точка y вернется в начальное положение. За 1 операцию до этого она попадет в точку x . Итак, во всех трех случаях точка x не более чем за N операций возвращается в начальное положение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	3