Информация о задаче

Задача 78684

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R $\ge$ 1/3.

Решение

Окружность максимального радиуса R касается трёх сторон многоугольника. Если две из этих сторон параллельны, то R $\ge$ ${\frac{1}{2}}$ > ${\frac{1}{3}}$ . Рассмотрим теперь случай, когда продолжения этих сторон образуют треугольник. Длина каждой высоты этого треугольника не меньше 1, поэтому для его площади S имеют место неравенства S $\ge$ ${\frac{a}{2}}$ , S $\ge$ ${\frac{b}{2}}$ , S $\ge$ ${\frac{c}{2}}$ . Следовательно, S $\ge$ p/3, где p — полупериметр. С другой стороны, S = pR, поэтому R $\ge$ ${\frac{1}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1