|
|
 |
Условие
На поверхности кубика мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на чёрный стол (причём в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже даёт отпечаток.)
Решение
Предположим противное. Тогда, как легко видеть, мелом отмечены либо все 8 вершин, либо ни одной. Значит, помимо вершин отмечены 100 или 92 точки. Если одна из точек отмечена в центре грани, то в центре каждой грани отмечено по точке, поэтому количество таких точек кратно 6. Аналогично количество отмеченных точек в серединах рёбер кратно 12, а количество остальных отмеченных точек, не попавших в вершины, кратно 24. Но ни 92, ни 100 не делятся на 6. Противоречие.
