Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Моторная лодка в 9 часов отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9:15 лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?
При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей? Чему равна эта сумма? (Корни рассматриваются с учётом кратности.)
В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что AC > BD тогда и только тогда, когда (AD – BC)(AB – CD) > 0.
Две окружности Ω1 и Ω2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω1 и Ω2 соответственно так, что лучи O1X и O2Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω2, а из точки Y – к Ω1. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.
Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC (AB > AC) и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA1 – высота треугольника ABC. Известно, что A1P = A1Q. Докажите, что угол PA1Q в два раза больше угла A треугольника ABC.
В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.
|
|
 |
Условие
В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более
чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50
штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на
20 г.
Решение
Разобьём гири на пары произвольным образом. Первую пару положим на разные чашки весов произвольно. Затем будем последовательно класть пары гирь, кладя каждый раз более тяжёлую гирю на более лёгкую чашку. Предположим, что на чашках лежат грузы a и a + α, где 0 ≤ α ≤ 20, и мы положили гири b + β и b, где 0 ≤ β ≤ 20. Тогда разность весов грузов, лежащих на чашках, равна |α − β| ≤ 20.
