|
|
 |
Условие
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
Решение
Пусть сначала первый сторож (Петя) прибежит в вершину $B$, а второй (Вася) – в вершину $C$ (см. рис.). Очевидно, обезьянка не может в этот момент оказаться на $AB$ или $AC$. Если она оказалась на отрезке $BC$, Петя и Вася поймают её, двигаясь по этому отрезку навстречу друг другу.
Пусть обезьянка не на $BC$. Без ограничения общности можно считать, что обезьянка находится в правой половине зоопарка, то есть на одной из сторон треугольника $CEF$. Будем говорить, что Вася контролирует вершину $B$ ($C$), если расстояние по дорожкам от него до $B$ ($C$) не больше ⅓ расстояния (по дорожкам $BD$, $DE$, $EC$, $EF$, $CF$) от обезьянки до $B$ ($C$). Если Вася контролирует вершину, то он может не дать обезьянке пройти через неё. В описываемый момент Вася контролирует только $C$.
Пусть Петя пока стоит в вершине $B$, а Вася двигается по $BC$ в сторону $B$. Будем считать, что $BC = 1$. Рассмотрим момент, когда Вася впервые будет находиться от $C$ на расстоянии, равном ⅓ расстояния от обезьянки от $C$ (по дорожкам $BD$, $DE$, $EC$, $EF$, $CF$ – пока Петя стоит в $B$, по отрезку $BE$ обезьянка всё равно не сможет пройти мимо него). Такой момент действительно произойдёт, поскольку обезьянка не зайдёт в точку $B$ (там стоит Петя), и минимальное расстояние от обезянки до $C$ в любой момент меньше 3. При этом сумма расстояний (по дорожкам $BD$, $DE$, $EC$, $EF$, $CF$) от обезьянки до точек $C$ и $B$ всегда не меньше 3, то есть в рассматриваемый момент Вася контролирует как $C$, так и $B$. Ясно, что он сможет сохранять этот контроль и в дальнейшем (то есть обезьянка не сможет пройти через эти точки).
После этого Петя добегает до вершины $E$. Если обезьянка в этот момент находится в левой половине зоопарка, то сторожа ловят её, двигаясь к $D$. Если же она осталась в правой половине, то Вася возвращается в $C$, а потом сторожа двигаются либо по $CE$, если обезьянка там, либо к $F$. В любом случае обезьянка будет поймана.
Ответ
Смогут.
Замечания
Ср с задачей 78747.
