|
|
 |
Условие
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
Решение
Пусть сначала первый сторож (Петя) прибежит в вершину B, а второй (Вася) – в вершину C (см. рис.). Очевидно, обезьянка не может в этот момент оказаться на AB или AC. Если она оказалась на отрезке BC, все ясно.
Пусть этого не случилось. Без ограничения общности можно считать, что обезьянка находится в правой половине зоопарка, то есть на одной из сторон треугольника CEF. Будем говорить, что Вася контролирует вершину В (С), если его расстояние до В (С) не больше ⅓ расстояния (по дорожкам BD, DE, EC, EF, CF) обезьянки до В (С). При этом он может не пропустить обезьянку через соответствующую вершину. В описываемый момент Вася контролирует только С.
Далее Петя стоит в вершине В, а Вася двигается к нему. Будем считать, что BC = 1. Пусть в какой-то момент Вася впервые будет находиться от C на расстоянии, равном ⅓ расстояния обезьянки от C. Так как сумма расстояний от обезьяyки до точек C и B всегда не меньше 3, в этот момент Вася контролирует как C, так и B. Ясно, что он сможет сохранять этот контроль и в дальнейшем (то есть обезьянка не сможет пройти через эти точки). Если же такого не случится, то Вася получит контроль над обеими точками в момент, когда дойдёт до B.
После этого Петя добегает до вершины E. Если обезьянка в этот момент находится в левой половине зоопарка, то сторожа ловят её, двигаясь к D. Если же она осталась в правой половине, то Вася возвращается в C, а потом сторожа двигаются либо по CE, если обезьянка там, либо к F. В любом случае обезьянка будет поймана.
Ответ
Смогут.
Замечания
Ср с задачей 78747.
