|
|
 |
Условие
Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?
Решение
Ответ: можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699
разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить
нельзя.
При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как
один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому после n разрезов
будет (n + 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число
вершин во всех кусках вместе после n разрезов. При каждом разрезании общее
число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо
на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через
2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после n разрезов во всех
кусках вместе будет не больше чем 4n + 4 вершины.
Предположим, что после N разрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так
как при этом общее число полученных кусков будет N + 1, то, кроме этих
двадцатиугольников, будет ещё N + 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет
иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет
не меньше чем
100 . 20 + (N - 99) . 3. Как было доказано раньше, это число
не больше чем 4N + 4. Значит, 4N + 4 ≥ 100 · 20 + (N − 99)·3 = 3N + 1703,
откуда N ≥ 1699.
Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав
меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.
Покажем теперь, как можно получить 100 двадцатиугольников, сделав 1699
разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямоугольников
(99 разрезов) и каждый прямоугольник за 16 разрезов превратим в
двадцатиугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего
будет 1699 разрезов.
Ответ
