ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78756
Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Решение

Ответ: можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя. При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому после n разрезов будет (n + 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число вершин во всех кусках вместе после n разрезов. При каждом разрезании общее число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через 2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после n разрезов во всех кусках вместе будет не больше чем 4n + 4 вершины. Предположим, что после N разрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так как при этом общее число полученных кусков будет N + 1, то, кроме этих двадцатиугольников, будет ещё N + 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет не меньше чем 100 . 20 + (N - 99) . 3. Как было доказано раньше, это число не больше чем 4N + 4. Значит, 4N + 4 ≥ 100 · 20 + (N − 99)·3 = 3N + 1703, откуда N ≥ 1699. Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.
Покажем теперь, как можно получить 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямоугольников (99 разрезов) и каждый прямоугольник за 16 разрезов превратим в двадцатиугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего будет 1699 разрезов.

Ответ

Ответ Можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М31
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 33
Год 1970
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .