Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Имеется две кучки камней - по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются
в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и
FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка
пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых
A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной
прямой.
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A1, A2, ..., An, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A1, равны между собой. То же самое верно и для вершин A2, A3, ..., An - 1. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине An, также равны между собой.
|
|
 |
Условие
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A1, A2, ...,
An, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все
вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков.
Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A1, равны между собой. То же
самое верно и для вершин A2, A3, ..., An - 1. Доказать, что
отрезки, прилегающие к вершине An, также равны между собой.
Решение
Отрезки, прилегающие к вершине Ai, где i = 1, 2,...n - 1, равны. По теореме о произведении отрезков секущих, проведённых из одной точки, отрезки тех же звеньев, лежащие внутри сферы, также равны между собой. А значит, все отрезки, лежащие внутри сферы, равны между собой, поскольку для соседних вершин один из отрезков является общим. Тогда получим, что они равны и для звеньев с вершиной An, тем самым по той же теореме и прилегающие к An отрезки этих звеньев равны между собой. Что и требовалось доказать.
