Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
В равнобедренном треугольнике MPK с основанием PM ∠P = arctg 5/12. Окружность, вписанная в угол K, касается стороны KP в точке A и отсекает от основания отрезок HE. Известно, что центр окружности удалён от вершины K на расстояние 13/24 и AP = 6/5. Найдите площадь треугольника HAE.
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.
В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые, AB = AE и BC = CD = DE. Диагонали BD и CE пересекаются в точке F.
Докажите, что FA = AB.
Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.
Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
...
p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).
В некоторых клетках квадратной таблицы n×n стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.
|
|
 |
Условие
В некоторых клетках квадратной таблицы n×n стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.
Решение
Заметим, что после перестановки строк и столбцов данной таблицы получаем таблицу, удовлетворяющую условиям задачи. Возьмём столбец с одной звёздочкой (такой существует) и поменяем его с первым столбцом, а также строку, в которой стоит эта звёздочка, поменяем с первой строкой. Затем вычеркнем первую строку и применим утверждение задачи. А после этого переставим строку и столбец со звёздочкой со второй строкой и вторым столбцом. Далее вычеркнем первые две и поступим аналогично. Будем продолжать процесс, пока не упорядочим всю таблицу. Полученная таблица, во-первых, содержит звёздочки на диагонали, а во-вторых, не содержит звёздочек под диагональю. Если теперь вычеркнуть несколько столбцов и номер последнего не вычеркнутого столбца k, то в строчке с номером k ровно одна звёздочка.
