ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79270
Темы:    [ Поворот (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Решение

Обозначим через n число спиленных пар зубцов (в нашем случае n = 6). Тогда у каждой шестерёнки n2 - n + 2 зубцов (в нашем случае 32). Всего существует n2n + 1 таких поворотов верхней шестерёнки относительно нижней, при которых все зубцы обеих шестерёнок оказываются совмещёнными. Назовём дыркой то место шестерёнки, где отсутствует зубец. Рассмотрим произвольную дырку нижней шестерёнки. При n − 1 положениях верхней шестерёнки (кроме исходного) над этой дыркой оказывается дырка верхней шестерёнки. Но дырок на нижней шестерёнке n, поэтому из n2n + 1 поворотов верхней шестерёнки только при не более, чем n(n − 1) из них наблюдаются совпадения дырок обеих шестерёнок. Поскольку (n2n + 1) − n(n − 1) = 1, найдётся такой поворот верхней шестерёнки, когда совпадения дырок не будет. Этот поворот искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .