Условие
Несколько стеклянных шариков разложено в три кучки. Мальчик, располагающий
неограниченным запасом шариков, может за один ход взять по одному шарику из
каждой кучки или же добавить из своего запаса в одну из кучек столько шариков,
сколько в ней уже есть. Доказать, что за несколько ходов мальчик может добиться
того, что в каждой кучке не останется ни одного шарика.
Решение
Достаточно показать, что мальчик может свести к ситуации, когда в каждой кучке
по 2 шарика. Если в какой-то кучке 1 шарик, то мальчик может удвоить количество
шариков в этой кучке. Если же во всех кучках не меньше двух шариков, то он может
забрать из всех кучек по одному шарику. Тогда через каждые четыре хода, если
он ещё к этому времени не успеет получить желаемый результат, количество
шариков в самой большой кучке уменьшается, конечно если оно больше двух,
поскольку больше трёх кучек, состоящих из одного шарика, у мальчика быть не
может. Если же в самой большой кучке всего два шарика, тогда мальчик может
дополнить удвоением все оставшиеся кучки из одного шарика и получить желаемый
результат.
Когда мальчик добьётся того, чтобы во всех кучках стало ровно по два шарика,
за следующие два хода он сможет забрать их все.
Источники и прецеденты использования
