Условие
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое
натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом
в виде разности двух чисел этой последовательности?
Решение
Ответ: такая последовательность существует. Объясним коротко, как её
построить. Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую
следующими свойствами:
- все попарные разности между членами этой последовательности различны;
- числа 1, 2, ..., k можно представить в виде разности двух её членов.
- число k + 1 нельзя представить в виде разности двух её членов.
Пусть максимальный член этой последовательности равен
M. "Допишем"
теперь эту последовательность: добавим к ней числа 2
M и 2
M +
k + 1. Проверьте сами, что новая последовательность удовлетворяет свойствам 1, 2 (с заменой
k на
k +
i, где
i — некоторое натуральное число, зависящее от
первоначально построенной последовательности,
i ≥ 1) и свойству 3 (с
заменой числа
k + 1 на число
k +
i + 1). Применяя описанное "дописывание", например, к числам 1, 2, получим бесконечную
последовательность, удовлетворяющую условиям задачи.
Источники и прецеденты использования
