Условие
Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник
света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы
один из шаров?
Решение
Ответ: да, можно.
Пусть источник света находится в центре
O правильного тетраэдра
ABCD.
Рассмотрим трёхгранный угол, образованный лучами
OA,
OB и
OC. Построим
шар, пересекающий лучи
OA,
OB и
OC и не содержащий точки
O. Такой
шар, как легко видеть, существует: можно, например, взять шар, касающийся
лучей
OA,
OB и
OC, и слегка его увеличить (или приблизить к
O). Этот
шар, очевидно, закроет весь трёхгранный угол
OABC. Другим шаром закроем
угол
OABD. Если второй шар пересекается с первым, то, отодвигая его центр
по лучу
OP, где
P — центр второго шара, и соответственно увеличивая его
радиус, всегда можно добиться того, чтобы второй шар не пересекался с первым.
Затем точно так же построим шар, закрывающий трёхгранный угол
OACD и не
пересекающийся с двумя первыми шарами, и шар, закрывающий трёхгранный угол
OBCD.
Источники и прецеденты использования
