Задача 79308
|
|
 |
Условие
Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников?Решение
Ответ: нет, нельзя.Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырёхугольники M1, ..., Mn. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f (N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180o, и суммой углов, дополняющих до 360o его углы, большие 180o. Сравним числа A = f (M) и B = f (M1) +...+ f (Mn). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырёхугольников M1, ..., Mn. Их можно разбить на четыре типа.
1. Вершины многоугольника M. Эти точки дают одинаковые вклады в A и B.
2. Точки на сторонах многоугольника M или Mi. Вклад каждой такой точки в B на 180o больше, чем в A.
3. Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырёхугольников, меньшие 180o. Вклад каждой такой точки в B на 360o больше, чем в A.
4. Внутренние точки многоугольника M, в которых сходятся углы четырёхугольников, причём один из них больше 180o. Такие точки дают нулевые вклады в A и B.
В итоге получаем A ≤ B. С другой стороны, A > 0, а B = 0. Неравенство A > 0 очевидно, а для доказательства равенства B = 0 достаточно проверить, что если N — невыпуклый четырёхугольник, то f (N) = 0. Пусть углы N равны α ≥ β ≥ γ ≥ δ. У любого невыпуклого четырёхугольника ровно один угол больше 180o, поэтому f (N) = β + γ + δ − (360o − α) = α + β + γ + δ − 360o = 0o. Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников.
