Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?

Вниз   Решение


Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

Вверх   Решение

Задача 79314
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Куб ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

Решение

Ответ: да, можно.
Докажем сначала, что прожектор можно повернуть так, чтобы он освещал соседние вершины A и B куба. Если $ \angle$AOB < 90o, то из центра O куба можно осветить отрезок AB. Для этого нужно поместить отрезок AB в одной из граней освещаемого прожектором угла, а затем слегка пошевелить прожектор. Остаётся проверить, что $ \angle$AOB < 90o. Это следует из того, что AO2 + BO2 = $ {\frac{3}{4}}$AB2 + $ {\frac{3}{4}}$AB2 > AB2. Повернём прожектор так, чтобы он освещал две вершины куба. Плоскости граней освещаемого прожектором угла разбивают пространство на 8 октантов. Так как в одном из них лежат две из восьми вершин куба, найдётся октант, не содержащий ни одной вершины. Этот октант задаёт требуемое положение прожектора.
Замечание. Мы не рассматриваем того случая, когда одна из плоскостей граней октантов содержит вершину куба. От этого случая можно избавиться, слегка пошевелив прожектор.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 39
Год 1976
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .