|
|
 |
Условие
Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?
Решение
Пусть искомое число A n-значно. Приписав A к самому себе, получим число AA = (10n + 1)A. Пусть это число равно B².
Предположим, что в разложении числа 10n + 1 на простые сомножители каждый из них встречается лишь по разу. Так как B² делится на 10n + 1, то в этом случае и B делится на 10n + 1. Поэтому B² делится и на (10n + 1)², откуда следует, что A делится на 10n + 1. Но это невозможно, поскольку
A < 10n + 1. Значит, в разложении числа 10n + 1 хотя бы один простой сомножитель должен встретиться больше одного раза. Мы получили необходимое условие разрешимости задачи: число 10n + 1 должно быть представимо в виде M²N, M > 1.
Докажем, что это условие является достаточным. Пусть N имеет n – i знаков. Рассмотрим геометрическую прогрессию {4kN}, k = 0, 1, ... . Поскольку первый член этой прогрессии меньше 10n и знаменатель 4 < 10, то в ней найдётся член B, принадлежащий промежутку [10n–1, 10n – 1]. Так как B имеет вид 4kN, то BB = 4kN(10n + 1) = 4kM²N² – точный квадрат.
Заметим, что число 1011 + 1 = (11 – 1)11 + 1 = 1111 – 11·1110 + ... + 11·11 делится на 11². Поэтому подходит n = 11, M = 11, N = 826446281,
A = 4²·826446281 = 13223140496;
1322314049613223140496 = (4·11·826446281)².
Ответ
Существует.
Замечания
1. 101 + 1 = 11, 10² + 1 = 101, 10³ + 1 = 7·11·13, 104 + 1 = 73·137, 105 + 1 = 11·9091, 106 + 1 = 101·9901, 107 + 1 = 11·909091, 108 + 1 = 17·5882353,
109 + 1 = 7·11·13·19·52729, 1010 + 1 = 101·3541·27961, 1011 + 1 = 11²·23·4093·8779. Так что 11 – наименьшее возможное число цифр.
2. В решениях задачника "Кванта" ("Квант", 1977, №2) доказано, что подобные числа существуют в любой системе счисления.
