Задача 79329

Темы:    [ Многогранники и пространственные многоугольники ] [ Векторы (прочее) ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

Решение

Ответ: существует. Рассмотрим произвольную пирамиду, в основании которой лежит 1975-угольник. При произвольной расстановке стрелок проекция суммы полученных векторов на прямую, перпендикулярную основанию, отлична от нуля. Действительно, все проекции векторов рёбер основания нулевые, а проекция каждого бокового ребра равна ±v, где v — фиксированный вектор. Ясно что сумма нечётного числа чисел ±1 не равна нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	39
Год	1976
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2