Задача 79336
|
|
 |
Условие
В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный
лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке
O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все
охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей
указанным свойством.
Решение
По условию вершины k-угольника разбиты на пары
{Ai, Aj} так, что точка
O принадлежит каждому из отрезков AiAj. Более того, для любой
другой пары {Ap, Aq} точки Ap и Aq лежат по разные стороны от
прямой ApAq. Из этого следует, что по обе стороны от прямой AiAj
лежит по
точек (в частности, k чётно). Таким образом, O — точка пересечения "больших" диагоналей k-угольника, т.е.
диагоналей AiAi +
.
