Задача 79344

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Выпуклые тела ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

Решение

Каждая из трёх координат целой точки может быть либо чётной, либо нечётной; всего  2³ = 8  различных вариантов. Поэтому если у многогранника есть девять вершин, расположенных в целых точках, то две из них имеют координаты одной чётности. Середина отрезка, соединяющего эти вершины, является целой точкой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	40
Год	1977
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4