ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79344
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.


Решение

Каждая из трёх координат целой точки может быть либо чётной, либо нечётной; всего  2³ = 8  различных вариантов. Поэтому если у многогранника есть девять вершин, расположенных в целых точках, то две из них имеют координаты одной чётности. Середина отрезка, соединяющего эти вершины, является целой точкой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .