Задача 79347

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Четность и нечетность ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу:  x₁ = 2,  ...,  x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность  y_n = (–1)^x_n  непериодическая.

Решение

Предположим, что последовательность {y_n} периодическая, то есть существуют натуральные числа T и n₀, для которых  y_n+T = y_n  при  n ≥ n₀.  Это означает, что число  x_n+T − x_n чётно для всех  n ≥ n₀. Пусть  x_n+T – x_n = 2^ma, где a нечётно,  m ≥ 1.  Тогда  1,5x_n+T − 1,5x_n = 2^m–1b,  где  b = 3a  – нечётное число. Поэтому  x_n+T+1 − x_n+1 = 2^m–1b  (поскольку x_n+T и x_n одной чётности) и т.д. Следовательно, число  x_n+T+m − x_n+m  нечётно. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	40
Год	1977
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4