Задача 79348

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Найти все пары целых чисел  (x, y),  удовлетворяющие уравнению   3·2^x + 1 = y².

Решение

Уравнение можно переписать в виде  3·2^x = (y + 1)(y – 1).  Разность чисел  y + 1  и  y – 1  равна 2, поэтому их наибольший общий делитель d равен 1 или 2. Если  d = 1,  то  x = 0.  Если  d = 2,  то либо одно число равно ±3·2ⁿ, а другое равно ±2, либо одно число равно ±3·2, а другое равно ±2ⁿ. Первый случай невозможен, а во втором случае  x = 3 или 4.

Ответ

(0, ±2),  (3, ±5),  (4, ±7).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	078
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	41
Год	1978
вариант
Класс	7
задача
Номер	1