|
|
 |
Условие
На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости
найдётся точка A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от
которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных
прямых.
Решение
Возьмём произвольную точку O и выберем число r > 0 так, чтобы окружность радиуса r с центром O содержала все данные точки и пересекала все данные прямые. Проведём через точку O прямую l, не перпендикулярную ни одной из данных прямых. Пусть точка A расположена на прямой l и удалена от точки O на расстояние R. Тогда расстояние от A до любой из данных точек не меньше R − r, а расстояние от A до любой из данных прямых не больше
(R + r)sin φ, где φ — наибольший из углов между прямой l и данными прямыми. Если R достаточно велико, то
R − r > (R + r)sinφ.
Действительно, это неравенство эквивалентно неравенству
R > r.
