Условие
На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости
найдётся точка
A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от
которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных
прямых.
Решение
Возьмём произвольную точку
O и выберем число
r > 0 так, чтобы окружность радиуса
r с центром
O содержала все данные точки и пересекала все данные прямые. Проведём через точку
O прямую
l, не перпендикулярную ни одной из данных прямых. Пусть точка
A расположена на прямой
l и удалена от точки
O на расстояние
R. Тогда расстояние от
A до любой из данных точек не меньше
R −
r, а расстояние от
A до любой из данных прямых не больше
(
R +
r)sin φ, где φ — наибольший из углов между прямой
l и данными прямыми. Если
R достаточно велико, то
R −
r > (
R +
r)sinφ.
Действительно, это неравенство эквивалентно неравенству
R >
r.
Источники и прецеденты использования
