ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79382
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a1, a2, a3, ..., an, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  an+1 ≤ 10an  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.


Решение

  Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина периода (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число an+1 может быть "длиннее" числа an не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность (an) – возрастающая, в ней есть числа любой длины, большей длины a1. Поэтому в ней найдётся число am, длина которого kT кратна периоду. Первые kT цифр числа am+1 должны совпадать с цифрами числа am, поэтому у am+1 есть ещё один разряд  (am+1 > am),  и в нём обязательно стоит нуль  (10am ≥ am+1).  Таким образом, первая цифра в записи am – нуль, что невозможно.

Замечания

Если условие  an+1 ≤ 10an  заменить чуть-чуть более слабым:  an+1 ≤ 10an + 1  или  an+1 ≤ (10 + ε)an.  где ε – произвольное положительное число, то полученная десятичная дробь может оказаться периодической.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 43
Год 1980
вариант
Класс 9
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 43
Год 1980
вариант
Класс 10
задача
Номер 1
журнал
Название "Квант"
год
Год 1980
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М612

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .