Информация о задаче

Задача 79391

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Иррациональные уравнения	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Прасолов В.В.

Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство

[ $\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$ ] = [ $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$ ]?

Решение

Пусть a — натуральное число, для которого a⁴ ≤ x < (a + 1)⁴. Тогда a² ≤ $\sqrt{x}$ < (a + 1)².
Отсюда, с одной стороны, a ≤ $\sqrt{\sqrt x}$ < a + 1, $\left[\vphantom{\sqrt{\sqrt x}}\right.$ $\sqrt{\sqrt x}$ $\left.\vphantom{\sqrt{\sqrt x}}\right]$ = a.
С другой стороны, a² ≤ $\left[\vphantom{\sqrtx}\right.$ $\sqrt{x}$ $\left.\vphantom{\sqrt x}\right]$ < (a + 1)², a ≤ $\sqrt{\left[\sqrt x\right]}$ < a + 1, $\left[\vphantom{\sqrt{\left[\sqrt x\right]}}\right.$ $\sqrt{\left[\sqrt x\right]}$ $\left.\vphantom{\sqrt{\left[\sqrt x\right]}}\right]$ = a.

Ответ 1

Да, для любого.

Ответ 2

Ответ Для любого.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	7
задача
Номер	4


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	8
задача
Номер	4


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1981
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М686