ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79393
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пятиугольнике проведены все диагонали. Какие семь углов между двумя диагоналями или между диагоналями и сторонами надо отметить, чтобы из равенства этих углов друг другу следовало, что пятиугольник – правильный?


Решение

Отметим углы ABE, AСB, ADB, AEB, BAC, CAD и DBE. Если отмеченные углы равны α, то сумма углов треугольника ABD равна 5α, поэтому  α = 36°.  Построим правильный пятиугольник ABC'D'E' так, чтобы точки D' и D лежали по одну сторону от прямой AB. Тогда точки D' и D совпадают. Далее, треугольник ABC равнобедренный с углом 36° при основании AC. Поэтому точки C' и C тоже совпадают. Аналогично точки E' и E совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 8
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .