Задача 79399

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Сочетания и размещения ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках.

Решение

Рассмотрим все отрезки с концами в отмеченных точках. Так как никакие три из отмеченных 64 точек не лежат на одной прямой, то таких отрезков будет  64·63 : 2 = 2016 > 1981.  Из задачи 116573 следует, что среди этих отрезков будет хотя бы одна пара параллельных. Четырёхугольник с вершинами в концах этих отрезков – искомый (он не может быть параллелограммом, так как не существует параллелограмма с вершинами в вершинах правильного 1981-угольника).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	9
задача
Номер	5