ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79403
Темы:    [ Ломаные внутри квадрата ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Решение

Пусть li — длина i-го звена ломаной, ai и bi — длины его проекций на стороны квадрата. Тогда liai + bi. Более того, равенство li = ai + bi достигается лишь в том случае, когда i-е звено ломаной параллельно одной из сторон квадрата. Но в таком случае прямая, проходящая через это звено, параллельна стороне квадрата и пересекает ломаную более чем в 101-й точке (она пересекает ломаную в бесконечном числе точек). Таким образом, можно считать, что li < ai + bi. Следовательно, 200 = l1 + ... + ln < (a1 + ... + an) + (b1 + ... + bn). Поэтому a1 + ... + an > 100 или b1 + ... + bn > 100. Если сумма проекций звеньев на отрезок длины 1 больше 100, то на одну из точек этого отрезка проецируется более 100 различных звеньев ломаной. Перпендикуляр к стороне квадрата, восставленный из этой точки, — искомая прямая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .