Информация о задаче

Задача 79404

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Формула Герона	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Целочисленные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Радиус вписанной в треугольник окружности равен ${\frac{4}{3}}$ , а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

Решение

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника, h_a, h_b, h_c — длины высот, опущенных на эти стороны, S — его площадь. Тогда

$\displaystyle {\frac{1}{r}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2S}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2S}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2S}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{2S}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_c}}$ .

Таким образом, получаем систему уравнений:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{aligned} \frac1{h_a}+\frac1{h_b}+\frac1{h_c}&=\frac43\\ h_a+h_b+h_c&=13 \end{aligned} }\right.$ $\begin{displaymath}\begin{aligned} \frac1{h_a}+\frac1{h_b}+\frac1{h_c}&=\frac43\\ h_a+h_b+h_c&=13 \end{aligned}\end{displaymath}$

Из второго уравнения следует, что h_a, h_b, h_c ≤ 10, а длина одной из высот не меньше пяти. Перебором находим единственное (с точностью до перестановки) решение h_a = 3, h_b = 4, h_c = 6. Следовательно, 3a = 4b = 6c, то есть a = 4x, b = 3x, c = 2x. Остаётся найти x. С одной стороны, S = ${\frac{1}{2}}$ ah_a = 6x. С другой стороны, по формуле Герона S = ${\frac{\sqrt{135}}{4}}$ x². Поэтому x = ${\frac{8}{\sqrt{15}}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	10
задача
Номер	5