Информация о задаче

Задача 79419

Темы:	[	Четырехугольники (экстремальные свойства)	]
Темы:	[	Сумма длин диагоналей четырехугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?

Решение

Ответ: 2 + 4 sin15^o. Заметим, что противоположные стороны не могут быть равны 1, так как сумма диагоналей четырёхугольника больше суммы противоположных сторон, то есть равны 1 смежные стороны. Обозначим четырёхугольник ABCD, и пусть AB = BC = 1.
Если BD < 1, то мы можем увеличивать BD, отодвигая точку D вдаль, пока не нарушится одно из условий. Какое это будет условие? Это условие, что BD ≤ 1, так как если AD = 1 или CD = 1 возникнет раньше, то сумма диагоналей окажется меньше, чем сумма противоположных сторон.
Пусть теперь AB = BC = BD = 1, $\angle$ ABD = α, $\angle$ CBD = β. Тогда AD = 2 sin ${\frac{\alpha}{2}}$ , CD = 2 sin ${\frac{\beta}{2}}$ ,

AD + CD = 2 sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + 2 sin $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 4 sin $\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{4}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha-\beta}{4}}$ .

Заметим, что ${\frac{\alpha+\beta}{4}}$ ≤ 15^o, так как α + β ≤ 60^o (поскольку AC ≤ 1); cos ${\frac{\alpha-\beta}{4}}$ ≤ 1, а значит, AD + CD ≤ 4 sin15^o. Равенство достигается при α = β = ${\frac{\pi}{6}}$ , периметр ABCD при этом равен 2 + 4 sin15^o.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	9
задача
Номер	5