ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79419
Темы:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?

Решение

Ответ: 2 + 4 sin15o. Заметим, что противоположные стороны не могут быть равны 1, так как сумма диагоналей четырёхугольника больше суммы противоположных сторон, то есть равны 1 смежные стороны. Обозначим четырёхугольник ABCD, и пусть AB = BC = 1.
Если BD < 1, то мы можем увеличивать BD, отодвигая точку D вдаль, пока не нарушится одно из условий. Какое это будет условие? Это условие, что BD ≤ 1, так как если AD = 1 или CD = 1 возникнет раньше, то сумма диагоналей окажется меньше, чем сумма противоположных сторон.
Пусть теперь AB = BC = BD = 1, $ \angle$ABD = α, $ \angle$CBD = β. Тогда AD = 2 sin$ {\frac{\alpha}{2}}$, CD = 2 sin$ {\frac{\beta}{2}}$,

AD + CD = 2 sin$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + 2 sin$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 4 sin$\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{4}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha-\beta}{4}}$.

Заметим, что $ {\frac{\alpha+\beta}{4}}$ ≤ 15o, так как α + β ≤ 60o (поскольку AC ≤ 1); cos$ {\frac{\alpha-\beta}{4}}$ ≤ 1, а значит, AD + CD ≤ 4 sin15o. Равенство достигается при α = β = $ {\frac{\pi}{6}}$, периметр ABCD при этом равен 2 + 4 sin15o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 45
Год 1982
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .