Задача 79423

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ] [ Десятичные дроби ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Решение

  При  n > 1  должны выполняться равенства  2^k5^l = n  и  2^s5^t = n + 1.  Числа n и  n + 1  взаимно просты, поэтому есть только два варианта: либо
5^l + 1 = 2^s,  либо  2^k + 1 = 5^t.
  1)  2^s = 5^l + 1.  Тогда число  2^s  оканчивается на 6, поэтому  s = 4m.  Значит,  5^l = 2^4m – 1 = (2^2m – 1)(2^2m + 1).  Но числа  2^2m – 1  и  2^2m + 1  не могут одновременно делиться на 5.
  2)  2^k = 5^t – 1.  Если t чётно, то  5^t – 1  делится на  5² – 1 = 24  и не может быть степенью двойки.
   Если t нечётно, то  2^k = 5^t – 1 = 4(5^t–1 + 5^t–2 + ... + 1)  и второй множитель – сумма нечётного числа нечётных слагаемых, то есть нечётен. Значит,  t = 1.
  Это соответствует равенству  2² + 1 = 5.

Ответ

1 и 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.011
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	10
задача
Номер	4