|
|
 |
Условие
В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно любой оси симметрии?
Решение
Предположим, что такая расстановка существует. Проведём ось симметрии через вершину с номером 1983 и будем считать, что она вертикальна, а вершина 1983 лежит вверху. Ось симметрии разбивает многоугольник на левую и правую половины. Номера вершин на левой половине обозначим (отсчитывая от вершины 1983 против часовой стрелки) через a1, a2, ..., a990, a991, а номера симметричных им вершин – буквами bi с теми же индексами. Пусть a1 > b1, a2 > b2, ..., а990 > b990, a991 > b991.
Проведём ось симметрии через вершину b991 (она пройдёт между вершинами 1983 и a1). Так как расстановка "хорошая" и
относительно этой оси, а 1983 > a1, то b1 > a2, b2 > a3, ..., b989 > a990, b990 > a991. Объединяя эти и предыдущие неравенства в одну цепочку, получаем: 1983 > a1 > b1 > a2 > b2 > ... > a990 > b990 > a991 > b991.
Отсюда вся расстановка полностью определяется: a1 = 1982, b1 = 1981, ..., a990 = 4, b990 = 3, a991 = 2, b991 = 1. Простая проверка показывает, что эта расстановка является "хорошей" относительно любой оси симметрии.
Ответ
Существует, и притом единственная.
