Задача 79436

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Условие

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

Решение

Ответ: . Обозначим через A, B и C центры окружностей радиусов 3, 4 и 5 соответственно. Пусть L — точка касания окружностей радиуса 3 и 4. Пусть CK — высота в треугольнике ABC, а CM — перпендикуляр на искомую касательную. Пусть CM = x, а длину отрезка касательной внутри окружности радиуса 5 обозначим y. Тогда y = 2. Заметим, что KL = x. Отсюда 8² - (3 - x)² = CK² = 9² - (4 + x)², а значит, y = 2 = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	9
задача
Номер	2