Задача 79437
|
|
 |
Условие
Доказать, что 11983 + 21983 + ... + 19831983 делится на 1 + ... + 1983.
Решение
Докажем, что для произвольного нечётного n = 2m – 1 сумма S = 1n + 2n + ... + nn делится на 1 + 2 + ... + n = nm. Числа n и m взаимно просты, поэтому достаточно проверить, что S делится на n и на m.
S = (1n + nn) + (2n + (n – 1)n) + ... + ((m – 1)n + (m + 1)n) + mn. Сумма в каждой скобке, кроме последней, делится на n + 1 = 2m, поэтому S делится на m.
С другой стороны, S = (1n + (n – 1)n) + (2n + (n – 2)n) + ... + ((m – 1)n + mn) + nn, поэтому S делится на n.
