Задача 79458

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Гашков С.Б., Дранишников А.Н.

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Решение

  Мы должны доказать, что для любых  n ≥ 4  неотрицательных чисел a₁, ..., a_n, сумма которых равна 1, выполнено неравенство
a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ ¼.
  При чётном  n = 2m  это неравенство доказывается непосредственно: пусть  a₁ + a₃ + ... + a_2m–1 = a;  тогда
a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ (a₁ + a₃ + ... + a_2m−1)(a₂ + a₄ + ... + a_2m) = a(1 − a) ≤ ¼.
  Пусть n нечётно и a_k – наименьшее из данных чисел. Можно считать, что  1 < k < n − 1  – это не ограничивает общности при  n ≥ 4.)  Положим  b_i = а_i  при  i = 1, ..., k − 1,  b_k = a_k + a_k+1  и  b_i = a_i+1  при  i = k + 1, ..., n − 1.  Применяя уже доказанное неравенство к числам b₁, ..., b_n–1,  получим
a₁a₂ + ... + a_k–2a_k–1 + (a_k–1 + a_k+2)b_k + a_k+2a_k+3 + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ ¼.
  Остаётся заметить, что  a_k–1a_k + a_ka_k+1 + a_k+1a_k+2 ≤ a_k–1a_k + a_k–1a_k+1 + a_k+1a_k+2 ≤ (a_k–1 + a_k+2) b_k.

Замечания

Указанная оценка точная; она достигается, когда два из n чисел равны ½, а остальные – нули.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	47
Год	1984
вариант
Класс	9
задача
Номер	4