ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79458
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.


Решение

  Мы должны доказать, что для любых  n ≥ 4  неотрицательных чисел a1, ..., an, сумма которых равна 1, выполнено неравенство
a1a2 + a2a3 + ... + an–1an + ana1 ≤ ¼.
  При чётном  n = 2m  это неравенство доказывается непосредственно: пусть  a1 + a3 + ... + a2m–1 = a;  тогда
a1a2 + a2a3 + ... + an–1an + ana1 ≤ (a1 + a3 + ... + a2m−1)(a2 + a4 + ... + a2m) = a(1 − a) ≤ ¼.
  Пусть n нечётно и ak – наименьшее из данных чисел. Можно считать, что  1 < k < n − 1  – это не ограничивает общности при  n ≥ 4.)  Положим  bi = аi  при  i = 1, ..., k − 1,  bk = ak + ak+1  и  bi = ai+1  при  i = k + 1, ..., n − 1.  Применяя уже доказанное неравенство к числам b1, ..., bn–1,  получим
a1a2 + ... + ak–2ak–1 + (ak–1 + ak+2)bk + ak+2ak+3 + ... + an–1an + ana1 ≤ ¼.
  Остаётся заметить, что  ak–1ak + akak+1 + ak+1ak+2ak–1ak + ak–1ak+1 + ak+1ak+2 ≤ (ak–1 + ak+2bk.

Замечания

Указанная оценка точная; она достигается, когда два из n чисел равны ½, а остальные – нули.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 47
Год 1984
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .