|
|
 |
Условие
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Решение
Рассмотрим наборы исходных чисел, взятых во всех возможных количествах: по одному, по два, по три и т. д. Таких наборов 21986 − 1. Числа в каждом таком наборе перемножим и полученное произведение представим в виде произведения наибольшего полного квадрата и нескольких простых сомножителей (например, 216·315·513·179 = (28·37·56174)²·3·5·17, а 216·1310 = (28·135)²). Сопоставим каждому набору исходных чисел тот набор простых чисел, который получается после выделения наибольшего точного квадрата из их произведения (в рассмотренных примерах первому числу сопоставляется набор 3, 5, 17, а второму – пустой набор). Число различных наборов из 1985 простых делителей (включая и пустой набор) равно 21985, что меньше количества 21986 − 1 наборов из исходных чисел. Поэтому каким-то двум наборам A и В из исходных чисел отвечает один и тот же набор p1, ..., pk простых делителей, то есть A = a²p1p2...pk, B = b²p1...pk. Следовательно, произведение AВ есть точный квадрат. С другой стороны, AВ равно произведению чисел в наборе A и чисел в наборе В. Выбросив из наборов A и В их общую часть (произведение выбрасываемых чисел есть точный квадрат), получим, что произведение остальных чисел является точным квадратом.
