Задача 79494

Темы:    [ Неравенства с модулями ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что система неравенств
    |x| > |y – z + t|,
    |y| > |x – z + t|,
    |z| > |x – y + t|,
    |t| > |x – y + z|
не имеет решений.

Решение

  Предположим, что данная система неравенств имеет решение. Тогда, в частности,  x² > (y − z + t)²,  то есть   (y − z + t − x)(y − z + t + x) < 0.
  Аналогично получаем  (x − z + t − y)(x − z + t + y) < 0,  (x − y + t − z)(x − y + t + z) < 0,  (x − y + z − t)(x − y + z + t) < 0.
  Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх отрицательных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно   − (x − y + z − t)²(x + y − z + t)²(x − y + z + t)²(x − y − z + t)² < 0.  Противоречие.

Замечания

Ср. с задачей 79497.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	8
задача
Номер	5