|
|
 |
Условие
На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD прямоугольником?
Решение
Чтобы определить, является ли ABCD прямоугольником, достаточно проверить равенства AB = CD, BC = AD и AC = BD — итого 9 операций (по 3 операции на каждое равенство: два измерения и одно сравнение). Прямоугольник ABCD будет квадратом, если AB = BC — для этого нужна ещё одна, 10-я, операция сравнения длин отрезков AB и BC. Докажем, что меньшим числом операций в обоих случаях не обойтись, т. е. что все указанные операции обязательно нужно выполнить. Действительно, если мы не знаем, что какие-то две противоположные стороны четырёхугольника равны, то нельзя даже утверждать, что ABCD — параллелограмм, ведь годится и равнобедренная трапеция (её диагонали равны). Поэтому проверка равенств AB = CD и BC = AD необходима. Если же мы не знаем, что AC = BD, то ABCD может быть произвольным параллелограммом. Значит, необходима и проверка равенства диагоналей. Наконец, в случае квадрата нужна также проверка равенства двух соседних сторон.
