Задача 79499

Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.

Решение

На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 выберем самую северную горизонтальную прямую y = k, пересекающую фиксированную окружность радиуса 100 с центром O (прямая y = k + 1 окружности не пересекает). Если все узлы этой прямой лежат вне окружности, то легко подсчитать, что ближайший к окружности узел находится от неё на расстоянии, меньшем , поэтому она пересекает нарисованный круг радиуса с центром в этом узле (для доказательства достаточно рассмотреть треугольник AOO', где O' – проекция точки O на прямую y = k). Считаем поэтому в дальнейшем, что на прямой y = k некоторые узлы лежат внутри окружности.

Выберем из них узел В, лежащий ближе всего к окружности. Через A обозначим ближайший к нему внешний узел на прямой y = k, т. е. AB = 1. Предположим, что окружность не пересекает нарисованных кругов радиуса с центрами A и B. Имеем тогда: OA > 100 + , 99 < OB < 100 − , откуда OA − OB > ,

OA² − OB² = (OA − OB)(OA + OB) > 199 · .

Если O' — проекция центра O на прямую y = k и O'B = x, то O'A = x + 1, и (x + 1)² − x² = OA² − OB² > , откуда O'B = x > . А тогда

OO'² = OB² − O'B² < (100 − )² − ()² < 99²,

откуда OO' < 99. Отсюда вытекает, что расстояние от центра O до прямой y = k + 1, равное OO' + 1, меньше 99 + 1 = 100, т. е. наша окружность радиуса 100 пересекает также и прямую y = k + 1. Это противоречит сделанному вначале предположению и доказывает утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	9
задача
Номер	5