Задача 79521

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Углы, образованные сторонами правильного треугольника с некоторой плоскостью, равны α, β и γ. Доказать, что одно из чисел sin α, sin β, sin γ равно сумме двух других.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — проекции вершин данного правильного треугольника на прямую, перпендикулярную данной плоскости, a — длина его стороны. Тогда длины отрезков A₁B₁, B₁C₁ и A₁C₁ равны a·sin α, a·sin β и a sin γ. Ясно, что один из этих отрезков состоит из двух других.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	50
Год	1987
вариант
Класс	10
задача
Номер	2