Информация о задаче

Задача 79580

Темы:	[	Замена переменных	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее значение выражения

x $\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ .

Решение

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 1. Так как выражение $\sqrt{1-x^2}$ определено, |x| ≤ 1, а значит, существует такой угол φ, что x = cos φ, $\sqrt{1-x^2}$ = sin φ. Аналогично, y = cos ψ, $\sqrt{1-y^2}$ = sin ψ. Следовательно,

x $\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ = sin(φ + ψ) ≤ 1.

С другой стороны, при x = 1, y = 0 значение 1 достигается.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	53
Год	1990
вариант
Класс	11
задача
Номер	1