Условие
Имеется шесть одинаковых с виду гирек массой 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г соответственно. На гирьках сделали надписи «1 г», «2 г», «3 г», «4 г», «5 г» и «5 г». Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без других гирек проверить правильность всех шести надписей?
Подсказка
Сравните гирю с надписью «6 г» с суммарной массой гирек с надписями «1 г», «2 г» и «3 г».
Решение
Если выполнено соотношение $x_1+x_2+x_3=x_6$, то из неравенств
$$x_1+x_2+x_3 \ge 1+2+3 = 6 >x_6$$
следует, что $x_6 = 6$, и $x_1$, $x_2$, $x_3$ равны в каком-то порядке $1$, $2$ и $3$. Тогда оставшиеся два числа $x_4$, $x_5$ равны в каком-то порядке $4$ и $5$. Если выполнено и условие $x_1+x_6 < x_3+x_5$, то, поскольку $x_1 \ge 1$, $x_3 \le 3$, $x_5 \le 5$, получаем неравенства
$$7 \le x_1+x_6 < x_3+x_5 \le 8,$$
откуда $x_1 + x_6=7$, $x_3+x_5=8$. Это возможно лишь в случае, если $x_1 = 1$, $x_3=3$, $x_5=5$, и тогда $x_2=2$, $x_4=4$, т. е. $x_k = k$ при всех значениях $k = 1, \dots, 6$.
Ответ
Для правильности всех шести надписей достаточно проверить, что $x_1 + x_2 + x_3 = x_6$ и $x_1+x_6 < x_3 +x_5$, где через $x_k$ обозначена масса гирьки с надписью «$k$ г».
Источники и прецеденты использования
