Условие
В клетках таблицы $15\times 15$ расставлены ненулевые числа так, что каждое
из них равно произведению всех чисел, стоящих в соседних клетках (соседними
называем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что все числа в таблице
положительны.
Решение
Если заменить все числа в указанной таблице числами $\pm 1$ в соответствии со знаками исходных чисел, то таблица по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Таблицу $m \times n$, в которой расставлены числа $\pm 1$ и каждое число равно произведению соседей, назовём
пригодной. Докажем, что любая пригодная таблица $m \times 15$, где $m = 1$, $3$, $7$, $15$, заполнена одними лишь единицами, т.е. тривиальна.
Действительно, непосредственно проверяется, что пригодная таблица $1 \times 15$ тривиальна: она полностью задаётся каким-нибудь из крайних чисел, одно из которых обязательно равно $1$. Допустим, что существует пригодная нетривиальная таблица $15 \times 15$. Если она симметрична относительно средней строки, то в этой строке каждое число совпадает с произведением соседей по горизонтали, и, значит, как было отмечено выше, равно $1$. Тогда над этой строкой распологается пригодная таблица $7 \times 15$, причём нетривиальная (иначе вся таблица тривиальна). Если же таблица $15 \times 15$ не симметрична относительно средней строки, то каждое число в верхней её части размером $7 \times 15$ умножим на число, симметричное относительно средней строки. Полученная таблица $7 \times 15$ будет пригодной и опять нетривиальной (иначе вся таблица симметрична). Итак, из существования пригодной нетривиальной таблицы $15 \times 15$ мы вывели существование такой таблицы $7 \times 15$. Найдём, аналогично, пригодную нетривиальную таблицу $3 \times 15$, а затем и $1 \times 15$. Противоречие.
Замечания
См. также задачу
109675.
Источники и прецеденты использования
