Задача 79612

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Каких нечётных натуральных чисел  n < 10000  больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа n⁹, больше n, или тех, для которых оно меньше n?

Решение

Пусть N – число, образованное последними четырьмя цифрами числа n⁹, где n – нечётное число, меньшее 10000. Заметим, что число, образованное последними четырьмя цифрами числа     совпадает с числом  10000 − N.  Кроме того,  N > n  тогда и только тогда, когда  10000 − N < 10000 − n.  Следовательно, число n принадлежит первому множеству тогда и только тогда, когда число  10000 − n  принадлежит второму множеству. Значит, чисел в этих множествах поровну.

Ответ

Поровну.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	55
Год	1992
вариант
Класс	9
задача
Номер	2