|
|
 |
Условие
Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад,
а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли.
Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных
Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.
Решение
Сначала "склеим" противоположные точки экватора. Тогда мы можем считать, что Аладдин двигался не по экватору, а по полученной после склейки окружности, ни в какой момент не телепортировался и побывал во всех её точках. Пусть
2πφ(t) — угловая координата Аладдина в момент
времени t. Так как Аладдин ни в какой момент времени не телепортировался, то функцию φ можно выбрать непрерывной. Тогда нам достаточно доказать следующее утверждение:
Дана непрерывная функция φ(t), причём
{φ(t)} принимает все возможные значения. Докажите, что
φ(t) −
φ(t) ≥ 1.
Но это утверждение очевидно: если эта разность меньше единицы, то функция
φ не может принимать значения от
{
φ(t)} до 1 и от 0 до
{
φ(t)}.
