|
|
 |
Условие
Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Решение
Несложно подобрать три натуральных числа так, что сумма каждых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других (3 = 2 + 1). Добавим к этим числам ещё одно - их сумму. Полученный набор чисел (1, 2, 3, 6) обладает тем свойством, что сумма каждых трёх из них делится на четвёртое.
Покажем, что добавляя таким образом к уже имеющимся числам их сумму, мы получим набор, обладающий нужным свойством. Если есть числа a1, a2, ..., ak, сумма любых k – 1 из которых делится на оставшееся, то Sk = a1 + a2 + ... + ak делится на каждое из этих чисел. Рассмотрим набор a1, a2, ..., ak, ak+1 = Sk. Тогда сумма всех чисел, кроме ai, равна 2Sk – ai и делится на ai.
Проделав такую операцию нужное количество раз, получим искомый набор: 1, 2, 3, 6, 12, 24, ..., 3·22002.
Ответ
Существуют.
