|
|
 |
Условие
С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n0, что любой допустимый четырехугольник после n=n0 операций становится равным исходному?
Решение
Обозначим через O точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям. Заметим, что эта точка остаётся на месте при применении любого количества операций к четырёхугольнику. Обозначим через α1, α2, …, α8 углы, образованные сторонами четырёхугольника и отрезками AO, BO, CO, DO (см. рис. 16). После применения трёх операций стороны четырёхугольника опять будут стоять в прежнем порядке: a, b, c, d, а указанные углы будут расположены, как указано на рис. 17.
Если α1 + α4 = α2 + α3 и α6 + α7 = α5 + α8, то четырёхугольник ABCD вписанный. При этом он перейдёт в равный ему четырёхугольник за три операции.
После шести операций стороны опять будут расположены в прежнем порядке и углы будут расположены так, как показано на рис. 16.
Ответ
а) Если ABCD - вписанный четырёхугольник, то он перейдёт в равный четырёхугольник за три операции.
б) Любой допустимый четырёхугольник перейдёт в равный ему четырёхугольник за 6k операций, где k - произвольное натуральное число (например, за n0 = 6 операций).
