|
|
 |
Условие
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Решение
Обозначим через a первое натуральное число, а через b и c записанные за ним двузначные числа. Пусть x = a + b + c. По условию
104a + 100b + c = x³.
Если x ≥ 100, то x³ ≥ 104x = 104(a + b + c) > 104a + 100b + c, то есть уравнение не имеет решений.
Следовательно, x – двузначное число, a – либо однозначное, либо двузначное число, а x³ – пяти- либо шестизначное число. Кроме того, x ≥ 22
(21³ = 9261 – четырёхзначное число).
Заметим, что число x³ − x = 9999a + 99b делится на 99. Так как x³ − x = x(x − 1) (x + 1), то среди чисел x − 1, x, x + 1 какое-то делится на 9 и какое-то на 11. Поскольку 22 ≤ x ≤ 99, возможны следующие случаи:
1) x = 44 (x + 1 = 45), 44³ = 85184, 8 + 51 + 84 > 44;
2) x = 45 (x − 1 = 44), 45³ = 91125, a = 9, b = 11, c = 25;
3) x = 54 (x + 1 = 45), 54³ = 157464, 15 + 74 + 64 > 54;
4) x = 55, (x − 1 = 54), 55³ = 166375, 16 + 63 + 75 > 55;
5) x = 89, (x − 1 = 88, x + 1 = 90), 89³ = 704969, 70 + 49 + 69 > 89;
6) x = 98, (x + 1 = 99), 98³ = 941192, 94 + 11 + 92 > 98;
7) x = 99, x³ = 970299, 2 – не двузначное число.
Ответ
9, 11, 25.
