|
Название задачи: Караван верблюдов. |
 |
Условие
По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?
Решение 1
Примем скорость каравана за единицу, а скорость всадника обозначим v. Тогда время, затраченное на проезд от конца каравана к началу, равно
а время, затраченное на проезд от начала к концу, равно
По условию
Это уравнение преобразуется к виду
v² – 2v – 1 = 0. Отсюда то есть за то время, что караван проходит 1 км, всадник проедет указанное в ответе расстояние.
Решение 2
Считая скорость каравана равной 1, нарисуем графики движения хвоста (OC) и начала (AM) каравана (см. рис.). Расстояние OA равно 1 км.
Пусть биссектриса угла AOC пересекает AC в точке K, а AM – в точке L. Заметим, что ∠AOL = ∠COL = ∠ALO, следовательно треугольник OAL – равнобедренный. Значит, и треугольник CAL – равнобедренный, поэтому ∠ACL = ½ (180° – 45°) = 67,5°. Но и
∠CKL = ∠ACL = ∠ALK = ∠LAK = 22,5° + 45° = 67,5°, то есть треугольник CLK – равнобедренный. Это значит, что ломаная OLC – график движения всадника. Поэтому всадник проехал расстояние
Ответ
км.
