Задача 86498

Темы:    [ Площади криволинейных фигур ] [ Касающиеся окружности ] [ Отношения площадей подобных фигур ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно.

Решение

Так как радиус большего круга в два раза больше радиуса меньшего, то их площади относятся, как 4 : 1, значит, S — площадь большего круга равна сумме площадей четырех меньших. Пусть x — площадь серой фигуры, а y — площадь черной. Так как серая фигура ("лепесток", см. рис. к условию) является пересечением меньших кругов, а черная фигура дополняет объединение меньших кругов до большего, то S - y = S - x, то есть x = y.

Ответ

Площади фигур равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	8
задача
Номер	1.3