Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  c/r 2(1 + ).

   Решение

Постройте рациональную параметризацию окружности x² + y² = 1, проведя прямые через точку (1, 0).

   Решение

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM(b + c)cos(/2).

   Решение

  – разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим  
Докажите, что  a^λ(m) ≡ 1 (mod m)  для любого целого числа a, взаимно простого с m.

   Решение

Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.

   Решение

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам  A B C D E, является правильным.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.

   Решение

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.

Решение

  В прямоугольных треугольниках AMC и ANC (см. рис.) Q – середина гипотенузы AC, значит,  QM = ½ = QN.  Вычислим угол MQN.

  Первый способ. Точки M и N лежат на окружности с диаметром АС.  ∠BAM = 90° – ∠B = 30°,  поэтому  ∠MQN = 2∠MAN = 60°.

  Второй способ.  ∠MQN = 180° – (∠AQN + ∠CQM).  Так как треугольники AQN и CQM – равнобедренные, то  ∠AQN = 180° – 2∠A,
∠CQM = 180° – 2∠C.
  ∠CQM = 360° – 2(∠A + ∠C) = 2∠B) = 120°,  значит,  ∠MQN = 60°.  Следовательно, треугольник MQN – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний.

Источники и прецеденты использования